一、题目含义

给定区间 $[l,r]$ 和整数 $k$（$k$ 是 2 的非负整数次幂，即 $k=2^t$），统计满足 $l\le i<j\le r$ 且 $i\oplus j$ 是 $k$ 的倍数的二元组 $(i,j)$ 数量。

关键转化：因为 $k=2^t$，条件"$i\oplus j$ 是 $k$ 的倍数"等价于"$i\oplus j$ 的 $t$ 位以下全为 0"，也就等价于 $i$ 和 $j$ 的$t$ 位以下完全相同，即 i%k==j%k。

于是问题变成：把区间 $[l,r]$ 中的数按模 $k$ 的余数分组，同一组内任取两个都满足。

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二、核心做题思路

观察一个重要事实：连续的 $k$ 个整数，模 $k$ 的余数恰好是 $0,1,\dots,k-1$ 各出现一次。

设区间长度 $w = r-l+1$。把 $[l,r]$ 从 $l$ 开始，每 $k$ 个分为一块：

• 完整的块数：$d_1 = \lfloor w/k\rfloor$，即每块包含 $k$ 个数，余数 $0\sim k-1$ 各一次；
• 最后剩余不满一块的数：$d_2 = w \bmod k$ 个，它们对应 $d_2$ 个互不相同的余数，每个余数在这段里再额外出现 1 次。

因此对每个余数类，其计数 $c_v$ 只有两种可能：

• 有 $k-d_2$ 个余数，它们只出现在完整块中，计数为 $d_1$；
• 有 $d_2$ 个余数，它们出现在所有完整块中且在末尾残缺段再出现一次，计数为 $d_1+1$。

答案即：

$$\text{ans} = (k-d_2)\cdot\frac{d_1(d_1-1)}{2} + d_2\cdot\frac{d_1(d_1+1)}{2} $$

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三、C 语言代码

#include <stdio.h>

int main() {
    long long l, r, k;
    scanf("%lld %lld %lld", &l, &r, &k);

    long long w  = r - l + 1;      // 区间长度
    long long d1 = w / k;          // 完整块数（每块含 k 个数，余数 0..k-1 各一次）
    long long d2 = w % k;          // 末尾残缺段长度（对应 d2 个互不相同的余数，各多出现一次）

    // 有 k-d2 个余数出现 d1 次，有 d2 个余数出现 d1+1 次
    long long ans = (k - d2) * d1 * (d1 - 1) / 2 + d2 * d1 * (d1 + 1) / 2;

    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

代码说明

1. 读入 $l,r,k$，算出区间长度 $w$；
2. $d_1=w/k$ 是完整块数，$d_2=w\%k$ 是残缺段长度；
3. 输出答案。